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怎提高數學的方法之掌握數學基礎知識

時間:2014-06-06 15:41:38  來源:MBA培訓網  點擊:



  掌握基礎知識,包括深刻理解基本概念和定理、熟練運用基本數學方法。mba數學95%以上的題都是考基礎知識。歷屆高分考生都強調對基礎知識的掌握,試列舉部分觀點:
  (2002數學滿分,陳茲武)對于基本概念力求理解透徹,掌握基本的解題規律和方法。概念、定義這些東西是構件數學大廈的基石,其實到最后的階段有很多人會發現很多題不會做,就是因為概念不清。更何況,如果你細心推敲往年考題,你會發現有些題只能從基本的概念定義出發才能推出正確的結果。
  (2000年狀元,327分,許昕)我認為mba數學考題并不很難,把基本要領理解透,應付考試足夠了,難題怪題用不著做。做題的目的也在于掌握理解概念和熟悉考試題理,但做得太多了完全沒有必要,太浪費時間。數學還要注意一個運算問題,因為很久不用了,考試時題量和計算量又很大,就經常會出現2+3=6的問題。
  (復旦第一,魏春霞,296)我知道自己并不是數學天才,所以從不跟難題計較,但是那些基本題目和中等難度的題是一定要做熟的,而且在第一階段就應該做到。 由于去年數學考試方式變化,我在最后沖刺階段針對充分型判斷和選擇題型又進行了強化訓練。
  (315,2002清華,劉賓)數學:基本概念百讀不厭,典型例題百做不厭。我在高等數學導數、微分、偏導數等幾個部分遇到幾道基本概念題目,二個月內反反復復做了二十幾遍, 有時甚至以為書上的一些步驟可以略去,也能得出相同結論,后來才深入領悟到是自己概念不清楚。這樣做透之后,其他題目有一些小的花招我很快就識別出來了。
  不做偏題做難題,不求做多,但求做透。什么是偏題?僅就一個非基本概念一直挖下去特別深就是偏題目。比如某些N階行列式。什么是好的難題?要用多個基本概念巧妙結合才能解決的問題就是好題。比如概率題中用到了數列和微積分。
  對于數學我還是強調基本功,在復習數學的第一步,我選擇了看大學時期的課本,盡量的把課本上定理和概念的來龍去脈弄清楚,盡量準確和清楚的理解概念和公式,這樣你就會體會到概念的本質,即使是最難的、最復雜的題也是能夠分解成為若干個小概念的;課后的題,我也盡量做了,因為課后題和參考書上的題有點不同的是它是按你的由不知到知、由淺入深的學習進度安排的,所以在深度和難度上的連續性比較好,不象許多的參考書,題目的安排是以讀者已有一定的概念基礎為思路的,所以跳躍性較大,不利于打好基本功,尤其是對于數學基礎較薄弱的同學,從基礎開始尤為重要。
  希望上面的這些同學原諒我,未經允許就引用了他們的文章。看在大家都是同一學校的學員份上,不要向我追究版權問題。好東西應該由大家分享。基礎知識這么重要,那么哪些內容屬于基礎知識呢? 對不起,沒有捷徑,機工版教材上講的都是基礎知識。我這里只能選幾個主題說一下。
  
1、集合的概念
  集合是數學中最重要的概念,是整個數學的基礎。我印象中,集合的定義是:集合是具有相同性質的元素的集體。這個定義屬于循環定義,因為集體就是集合。我的理解是:把一些互不相同的東西放在一起,就組成一個集合。唯一的要求是“互不相同”。集合中的元素可以是毫不相干的。元素可以是個體,也可以是一個集合, 比如1,2,{1,2}就構成一個集合,集合中有三個元素,兩個是個體,一個是集合。元素可以是數對,(x,y)是一個數對,代表二維坐標系中的一個點。如果集合中的元素沒有共同的特征,要完整地描述一個集合,我們被迫列出集合中的每一個元素,如{一陣風,一匹馬,一頭牛};如果存在相同的特征,描述就簡單多了,如{所有正整數}、{所有英國男人}、{所有四川的下過馬駒的紅色的母馬},不用一一列舉。區間是特殊的集合,專門用來表示某些連續的實數的集合。集合在邏輯中的應用也十分廣泛,學好了集合,數學和邏輯都能提高,起到“兩個男人并排坐在石頭上”的作用。




 

集合中元素的個數是集合的重要特征。如果兩個集合的元素能有一一對應的關系,那么這兩個集合元素的個數就是相等的。在我們平時數物品的數量時,說1,2,3,4,5,一共有5個,這時我們就是在把物品的集合與集合(1,2,3,4,5)建立一一對應的關系,正是因為物品數量與集合(1,2,3,4,5)的元素個數相等,所以我們才說物品共有5個。集合分為有限集合和無限集合,元素的個數一般是針對有限集合說的。對無限集合來說,有很多不同之處。比如{所有的正整數}與{所有的正偶數},后者只是前者的一個子集,但兩者存在一一對應的關系,因此元素個數“相等”。而{所有整數}與{所有實數}則不可能建立一一對應的關系,因為它們的無限的級別是不同的。對兩個無限集合,我們只強調是否能一一對應,不說元素個數是否相等。
  兩個集合有交集和并集的關系。交集是同時在兩個集合中的所有元素的集合,例如{中國人}交{男人}={中國男人},{韓國俊男}交{韓國美女}={河利秀}。并集是在其中任一個集合中的所有元素的集合。因為集合中的元素不能重復,所以取并集時要去掉重復了的元素,A并B的元素個數=A的元素個數+B的元素個數-A交B的元素個數。

  2、數列的概念
  數列是一種特殊的函數,其定義域為全體或部分自然數。數列的通項公式A(N)就是一個函數,求出通項公式,等于求出了數列的任一項。數列的前N項和S(N)(N=1,2,…)構成了一個新的數列,知道S(N)的公式,通過A(1)=S(1),A(N)=S(N)-S(N-1)就能求出原數列的通項公式。
  mba數學主要考察等差數列和等比數列。有些數列不是等差數列或等比數列,但經過改造后可構造出等差數列或等比數列,如A(1)=1,A(N+1)=2A(N)+1。這個數列的每一項都加上1,就成為等比數列了,通項公式為2^N,因此原數列通項公式為:A(N)=2^N-1 其他常見的數列包括A(N)=N^3, A(N)=N!/(N-K)!,A(N)=1/[N(N-1)]等,都有相應的辦法能處理。

  3、排列、組合、概率的概念
  排列、組合、概率都與集合密切相關。排列和組合都是求集合元素的個數,概率是求子集元素個數與全集元素個數的比值。
  以最常見的全排列為例,用S(A)表示集合A的元素個數。用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數,則每一個九位數都是集合A的一個元素,集合A中共有9!個元素,即S(A)=9!如果集合A可以分為若干個不相交的子集,則A的元素等于各子集元素之和。把A分成各子集,可以把復雜的問題化為若干簡單的問題分別解決,但我們要詳細分析各子集之間是否確無公共元素,否則會重復計算。
  4、集合的對應關系
  兩個集合之間存在對應關系(以前學的函數的概念就是集合的對應關系)。如果集合A與集合B存在一一對應的關系,則S(A)=S(B)。如果集合B中每個元素對應集合A中N個元素,則集合A的元素個數是B的N倍(嚴格的定義是把集合A分為若干個子集,各子集沒有共同元素,且每個子集元素個數為N,這時子集成為集合A的元素,而B的元素與A的子集有一一對應的關系,則S(A)=S(B)*N
  例如:從1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取六個數,問能組成多少個數字不重復的六位數。
  集合A為數字不重復的九位數的集合,S(A)=9!
  集合B為數字不重復的六位數的集合。
  把集合A分為子集的集合,規則為前6位數相同的元素構成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數,等于剩余的3個數的全排列,即3!
  這時集合B的元素與A的子集存在一一對應關系,則
  S(A)=S(B)*3!
  S(B)=9!/3!
  組合與排列的區別在于,每一個組合中的各元素是沒有順序的。無論這些元素怎樣排列,都只當作一種組合方式。所以在計算組合數的時候,只要分步,就意味有次序。取N次,N件物品的N!種排列方式都會被當作不同選法,該選法就重復計了N!次。比如10個球中任取三個球,取法應該是C(10,3),但如果先從10個中取一個,得C(10,1),再從9個中取一個得C(9,1),再從8個中取一個得C(8,1),再相乘結果成了P(10,3),結果增大了3!倍。
  概率的概念。在有限集合的情況下,概率是子集元素個數與全集元素個數的比值。在無限集合的情況下,概率是代表子集的點的面積與代表全集的點的面積的比值。
  概率分布函數可以描述概率分布的全貌。離散型的概率分布是一組數列,計算事件發生的概率、數學期望和方差都使用數列的計算方法。連續型的概率分布是一個函數, 它等于概率密度函數的積分,計算事件發生的概率、數學期望和方差都使用積分的計算方法。
  概率的概念不難理解,解題能力決定于對數列和積分中的方法掌握的熟練程度。


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