有理數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)。英文：rational number讀音：yǒu lǐ shù整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，任何一個有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)m/n（m，n都是整數(shù)，且n≠0）的形式。任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示。其中包括整數(shù)和通常所說的分?jǐn)?shù)，此分?jǐn)?shù)亦可表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。這一定義在數(shù)的十進制和其他進位制（如二進制）下都適用。數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是一個整數(shù) a 和一個非零整數(shù) b 的比(ratio)，通常寫作 a/b，故又稱作分?jǐn)?shù)。希臘文稱為 λογο，原意為“成比例的數(shù)”(rational number)，但中文翻譯不恰當(dāng)，逐漸變成“有道理的數(shù)”。 無限不循環(huán)小數(shù)稱之為無理數(shù)（例如：圓周率π）有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。所有有理數(shù)的集合表示為Q。以下都是有理數(shù)：
 　 (1) 整數(shù)包含了：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。 　　
       (2)分?jǐn)?shù)包含了：正分?jǐn)?shù)、負分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。 　　
       (3)小數(shù)包含了:有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)。而且分?jǐn)?shù)也統(tǒng)稱小數(shù)，因為分小互化。 　　
       如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理數(shù)。全體有理數(shù)構(gòu)成一個集合，即有理數(shù)集合，用粗體字母Q表示，較現(xiàn)代的一些數(shù)學(xué)書則用空心字母Q表示。有理數(shù)集是實數(shù)集的子集，即Q?R。相關(guān)的內(nèi)容見數(shù)系的擴張。有理數(shù)集是一個域，即在其中可進行四則運算（0作除數(shù)除外），而且對于這些運算，以下的運算律成立（a、b、c等都表示任意的有理數(shù)）：①加法的交換律 a+b=b+a；②加法的結(jié)合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在數(shù)0，使 0+a=a+0=a；④乘法的交換律 ab=ba；⑤乘法的結(jié)合律 a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解釋：一個數(shù)乘0還等于0。此外，有理數(shù)是一個序域，即在其上存在一個次序關(guān)系≤。0的絕對值還是0.有理數(shù)還是一個阿基米德域，即對有理數(shù)a和b，a≥0，b>0，必可找到一個自然數(shù)n，使nb>a。由此不難推知，不存在最大的有理數(shù)。值得一提的是有理數(shù)的名稱。“有理數(shù)”這一名稱不免叫人費解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來，在英語中是（rational number），而（rational）通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為（ratio），就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對，而“無理數(shù)”就是不能精確表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，而并非沒有道理（無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，π也是其中一個無理數(shù)）。

運算

　    有理數(shù)加減混合運算 
        1.有理數(shù)加減統(tǒng)一成加法的意義： 　　
        對于加減混合運算中的減法，我們可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，這樣就可將混合運算統(tǒng)一為加法運算，統(tǒng)一后的算式是幾個正數(shù)或負數(shù)的和的形式，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。 　　
       2.有理數(shù)加減混合運算的方法和步驟： 　　
       (1)運用減法法則將有理數(shù)混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。 　　
       (2)運用加法法則，加法交換律，加法結(jié)合律簡便運算。 　　
       一般情況下，有理數(shù)是這樣分類的： 　　  
       整數(shù)、分?jǐn)?shù)；正數(shù)、負數(shù)和零；負有理數(shù)，正有理數(shù)。整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，有理數(shù)可以用a/b的形式表達，其中a、b都是整數(shù)，且互質(zhì)。我們?nèi)粘＝?jīng)常使用有理數(shù)的。比如多少錢，多少斤等。 　　
      凡是不能用a/b形式表達的實數(shù)就是無理數(shù)，又叫無限不循環(huán)小數(shù)。 　　 
      在有理數(shù)中，不是無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)就是分?jǐn)?shù)。

有理數(shù)的運算法則

一、加法

　　有理數(shù)的加法與小學(xué)的加法大有不同，小學(xué)的加法不涉及到符號的問題,而有理數(shù)的加法運算總是涉及到兩個問題:一是確定結(jié)果的符號;二是求結(jié)果的絕對值. 在進行有理數(shù)加法運算時,首先判斷兩個加數(shù)的符號:是同號還是異號,是否有0.從而確定用那一條法則.在應(yīng)用過程中，一定要牢記"先符號,后絕對值"，熟練以后就不會出錯了. 多個有理數(shù)的加法，可以從左向右計算,也可以用加法的運算定律計算，但是在下筆前一定要思考好,哪一個要用定律哪一個要從左往右計算.

法則

       1.同號相加,取相同符號,并把絕對值相加. 　　
       2.絕對值不等的異號加減,取絕對值較大的加數(shù)符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0. 　　
       3.一個數(shù)同0相加,仍得這個數(shù). 　　

定律

       Ⅰ.同號相加,取相同符號,并把絕對值相加. 　　
       Ⅱ.絕對值不相等的異號兩數(shù)加減,取絕對值較大的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0. 　　
       Ⅲ.一個數(shù)同0相加,仍得這個數(shù). 　　
       Ⅳ.相反數(shù)相加結(jié)果一定得0。　

交換律和結(jié)合律
 　　有理數(shù)的加法同樣擁有交換律和結(jié)合律(和整數(shù)得交換律和結(jié)合律一樣)用字母表示為: 　　
      交換律:a+b=b+a 兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。 　　
      結(jié)合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)  
      三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。

二、減法

　　有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。其中：兩變：減法運算變加法運算，減數(shù)變成它的相反數(shù)。一不變：被減數(shù)不變。可以表示成： a－b=a+（－b）。

三、乘法

　　（1）兩數(shù)相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘。 
               例;（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24 　　  
       （2）任何數(shù)字同0相乘，都得0. 
              例;0×1=0 　　
      （3）幾個不等于0的數(shù)字相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定。當(dāng)負因數(shù)有奇數(shù)個數(shù)時，積為負；當(dāng)負因數(shù)有偶數(shù)個數(shù)時，積為正。并把其絕對值相乘。
             例;（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=積為正數(shù)，而（-4）×（-7）×(-25）=積為負數(shù) 　　    （4）幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0時，積為0. 
            例;3×（-2）×0=0 （5）乘積為一的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)（reciprocal）。
            例如，—3與—1/3，—3/8與—8/3
 
四、除法
  
（1）除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。（注意：0沒有倒數(shù)） 　　
      （2）兩數(shù)相除，同號為正，異號為負，并把絕對值相除。 　　
      （3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都等于0。 　　
      （4）0在任何條件下都不能做除數(shù)。

實數(shù)

       包括有理數(shù)和無理數(shù)。其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)就包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。數(shù)學(xué)上，實數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的數(shù)。本來實數(shù)僅稱作數(shù)，后來引入了虛數(shù)概念，原本的數(shù)稱作“實數(shù)”——意義是“實在的數(shù)”。

基本概念

　　實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正實數(shù)，負實數(shù)和零三類。有理數(shù)可以分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，而整數(shù)可以分為正整數(shù)、零和負整數(shù)。分?jǐn)?shù)可以分為正分?jǐn)?shù)和負分?jǐn)?shù)。無理數(shù)可以分為正無理數(shù)和負無理數(shù)。實數(shù)集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而R^n 表示 n 維實數(shù)空間。實數(shù)是不可數(shù)的。實數(shù)是實分析的核心研究對象。 　　
        實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實際運用中，實數(shù)經(jīng)常被近似成一個有限小數(shù)（保留小數(shù)點后 n 位，n 為正整數(shù)，包括整數(shù)）。在計算機領(lǐng)域，由于計算機只能存儲有限的小數(shù)位數(shù)，實數(shù)經(jīng)常用浮點數(shù)來表示。 　　
       1）相反數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)，他們的和為零，我們就說其中一個是另一個的相反數(shù)） 實數(shù)a的相反數(shù)是-a，a和-a在數(shù)軸上到原點0的距離相等。 　　
       2）絕對值（在數(shù)軸上一個數(shù)a與原點0的距離） 實數(shù)a的絕對值是：|a| 　　
           ①a為正數(shù)時，|a|=a（不變） 　　
           ②a為0時， |a|=0 　　
           ③a為負數(shù)時，|a|= -a（為a的絕對值） 　　
            (任何數(shù)的絕對值都大于或等于0，因為距離沒有負的。) 　　
      3）倒數(shù)（兩個實數(shù)的乘積是1，則這兩個數(shù)互為倒數(shù)） 實數(shù)a的倒數(shù)是：1/a （a≠0） 　　
      4）數(shù)軸 　　
     （1）數(shù)軸的三要素：原點、正方向和單位長度。 　　
     （2）數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)。